Борис Быстров родился 12 февраля 1945 года в Москве. В 1966 году он окончил школу-студию МХАТ. В том же году он сыграл главную роль в советском фильме «Волшебная лампа Аладдина», а позже появился в «Удар! Ещё удар!», «Приключения желтого чемоданчика», «ТАСС уполномочен заявить…» и многих других картинах. Озвучивать кинокартины Быстров…