С 2001 года Анна состоит в отношениях с испанским певцом Энрике Иглесиасом, с которым познакомилась на съёмках его клипа Escape. Пара предпочитает хранить свою личную жизнь в тайне, последний раз их видели вместе на праздновании Дня матери и дня рождения Иглесиаса 8 мая 2022 года. В июле прошлого года певец был замечен на яхте вместе с дочерью Мэри и отцом Анны Сергеем Курниковым в Майами.
В октябре того же года Иглесиас раскрыл подробности своих отношений в интервью People: «Когда мы познакомились, хоть она и пришла из мира спорта, мы сразу же нашли общий язык. Она знала, каков мой мир, а я знал её мир. Это понимание сыграло огромную роль. Мы просто начали общаться, и с каждым днём наша связь становилась все крепче и крепче».
